Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是等腰直角三角形,且,側(cè)面⊥底面.

(1)若分別為棱的中點(diǎn),求證:∥平面；

(2)棱上是否存在一點(diǎn),使二面角成角，若存在,求出的長；若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析( 2)

【解析】

分析：（1）取中點(diǎn),連結(jié),由三角形中位線定理可得,可證明四邊形為平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取中點(diǎn),連結(jié)、,先證明、、兩兩垂直. 以為原點(diǎn),分別以、、正方向?yàn)?/span>軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的法向量，平面的法向量為，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.

詳解：(1)取中點(diǎn),連結(jié),∵分別為、中點(diǎn)，∴//,, 又點(diǎn)為中點(diǎn),∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴∥,

又 平面, 平面,∴∥平面.

(2)取中點(diǎn),連結(jié)、,∵ 是以 為直角的等腰直角三角形,又為的中點(diǎn),∴ ,又平面⊥平面,由面面垂直的性質(zhì)定理得⊥平面,又 平面,∴⊥,由已知易得:、、兩兩垂直. 以為原點(diǎn),分別以、、正方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,

則,設(shè) ,

則:,.

設(shè)平面ABF的法向量為,則,

∴,令,則

,∴.

又平面的法向量為,由二面角成角得:,

∴,解得:,或不合題意,舍去

.∴,當(dāng)棱上的點(diǎn)滿足時(shí), 二面角成角.