Question

在(

x

+

1

2• 4 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中的有理項(xiàng)共有

3

項(xiàng)．

Answer 1

分析：先求得展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)，再根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求得n=8，依據(jù)展開式的通項(xiàng)公式可得r=0，4，8 時(shí)，展開式為有理項(xiàng)，從而得出結(jié)論．

解答：解：展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為

C

0 n

、

1

2

C

1 n

、

1

4

C

2 n

，且前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，
故有

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

，即 n=1+

1

4

×

n(n-1)

2

，解得n=8，或n=1（舍去）．
故展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

16-3r

4

．
要使展開式為有理項(xiàng)，r應(yīng)是4的非負(fù)整數(shù)倍，故r=0，4，8，共有3個(gè)有理項(xiàng)，
故答案為 3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．