已知函數(shù)f(x)=4x+
1
x
．
（1）求函數(shù)y=f（x）-4的零點(diǎn)；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間(
1
2
，+∞)上為增函數(shù)．
分析：（1）求函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即f（x）-4=0，得4x+
1
x
-4=0，故可解；
（2）利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間(
1
2
，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＞x2，推證f（x1）＞f（x2），即可．
解答：解（1）因?yàn)?span id="4upd5ya" class="MathJye">f(x)-4=4x+
1
x
-4，令f（x）-4=0，得4x+
1
x
-4=0，
即4x2-4x+1=0，解得x=
1
2
．
所以函數(shù)y=f（x）-4的零點(diǎn)是
1
2
．
（2）設(shè)x1，x2是區(qū)間(
1
2
，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＞x2，
則f(x1)-f(x2)=4x1+
1
x1
-(4x2+
1
x2
)=4(x1-x2)
x1x2-
1
4
x1x2
，
由x1＞x2＞
1
2
，得x1x2＞
1
4
，
又由x1＞x2，得x1-x2＞0，所以4(x1-x2)
x1x2-
1
4
x1x2
＞0，
于是f（x1）＞f（x2），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間(
1
2
，+∞)上為增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)注意理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，掌握單調(diào)性證明的步驟．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，
1
8
），則a=
 
；若函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，則它是（　　）
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）當(dāng)-4≤x＜3時(shí)，求f（x）取值的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，則M、N一定滿足（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）當(dāng)-4≤x＜3時(shí)，求f（x）取值的集合．

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