【題目】定義集合與集合之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合,記作 .已知集合

)若集合,寫出集合的所有元素;

)從集合選出10個(gè)元素由小到大構(gòu)成等差數(shù)列,其中公差的最大值和最小值分別是多少?公差為的等差數(shù)列各有多少個(gè)?

)設(shè)集合,且集合中含有10個(gè)元素,證明:集合中必有10個(gè)元素組成等差數(shù)列.

【答案】2,48,1632,64;(只有1個(gè),d=1有91個(gè);()見解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,分析集合T的元素,結(jié)合MN的含義分析可得答案;(Ⅱ)根據(jù)題意,由等差數(shù)列的性質(zhì)分析公差的最大、最小值,據(jù)此分析等差數(shù)列的數(shù)目,相加即可得答案;(Ⅲ)根據(jù)題意,將集合S中元素列表,據(jù)此分析集合集合SA中的元素,由反證法分析可得結(jié)論.

)根據(jù)題意,集合 , ;

;

則集合 的所有元素是: 24,8,1632,64;

)當(dāng)首項(xiàng)是1,末項(xiàng)是100時(shí),公差最大為11,即

這樣的數(shù)列只有1個(gè):1,1223,3445,56,6778,89,100

當(dāng)選取的10個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)時(shí),公差最小為1,即d=1

這樣的數(shù)列首項(xiàng)可以是123,…,91中的任何一個(gè),

因此共有91個(gè)公差為1的等差數(shù)列;

)將集合中元素列表如下:

1

2

3

10

11

12

13

20

21

22

23

30

91

92

93

100

表中各行或各列的十個(gè)數(shù)分別構(gòu)成等差數(shù)列.

假設(shè)存在含有10個(gè)元素的集合,使得 中不含10個(gè)元素組成的等差數(shù)列.

顯然每連續(xù)10個(gè)元素中必有集合中的唯一一個(gè)元素,即表的每行、每列中必有集合中的唯一一個(gè)元素.

記表中第行第列的數(shù)為

若第 行中集合A的唯一元素為 ,則第行中 ,… 中必有集合A中元素.

若第行的第一個(gè)數(shù)在集合中,則此行余下九個(gè)數(shù)和下一行第一個(gè)數(shù)可以組成等差數(shù)列,與假設(shè)矛盾.

因此,第一列中集合的唯一元素只可能在第十行.

同理,若第行的第二個(gè)數(shù)在集合中,則此行余下八個(gè)數(shù)和下一行前兩個(gè)數(shù)可以組成等差數(shù)列,與假設(shè)矛盾.

因此,第二列中集合的唯一元素只可能在第九行.

依此類推,得

此時(shí),另一條對(duì)角線上的十個(gè)元素構(gòu)成等差數(shù)列,與假設(shè)矛盾.

綜上,原命題成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

(1)求橢圓的方程;

(2)如圖,過定點(diǎn)的直線交橢圓兩點(diǎn),連接并延長交,求證:.

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(1)在組成的四位數(shù)中,求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù);

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(1)求橢圓 的方程;

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A.事件恰有兩次正面向上,事件恰有兩次反面向上

B.事件恰有兩次正面向上,事件恰有一次正面向上

C.事件至少有一次正面向上,事件至多一次正面向上

D.事件至少有一次正面向上,事件恰有三次反面向上

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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)已知點(diǎn)M(0,-1),直線l經(jīng)過點(diǎn)N(2,1)且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)M),記直線MA的斜率為,直線MB的斜率為,證明 為定值,并求出該定值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為為參數(shù), ),以為極點(diǎn), 軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

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(1)證明:;

(2)設(shè),當(dāng)為何值時(shí),四面體的體積最大,并求出最大值.

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