Question

已知向量

OA

=（λcosα，λsinα）（λ≠0），

OB

=（-sinβ，cosβ），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若任意實(shí)數(shù)α，β，使得|

BA

|≥2|

OB

|成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

（-∞，-3]∪[3，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)

OA

、

OB

的坐標(biāo)算出向量

BA

的坐標(biāo)，將不等式|

BA

|≥2|

OB

|轉(zhuǎn)化成關(guān)于關(guān)于α、β、λ的不等式，化簡整理得λ²+2λsin（β-α）-3≥0，利用|sin（β-α）|≤1和二次函數(shù)的性質(zhì)加以計(jì)算，即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，可得
∵A（λcosα，λsinα），B（-sinβ，cosβ），
∴

BA

=（λcosα+sinβ，λsinα-cosβ），
∵|

BA

|≥2|

OB

|恒成立，
∴代入坐標(biāo)，可得（λcosα+sinβ）（λcosα+sinβ）+（λsinα-cosβ）（λsinα-cosβ）≥4，
化簡得λ²+1+2λcosαsinβ-2λsinαcosβ≥4，即λ²+2λsin（β-α）-3≥0，
∵|sin（β-α）|≤1，∴λ²+2λ-3≥0且λ²-2λ-3≥0，
解此不等式，可得

λ≤-3或λ≥1 λ≤-1或λ≥3

，化簡得λ≤-3或λ≥3．
即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，求解向量不等式恒成立的問題．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、求向量的長度、兩角差的正弦公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．