已知向量
OA
=（sinθ，cosθ）（θ∈R），
OB
=（
3
，3），
OC
=（-1，-
3
），
（Ⅰ）若θ為某銳角三角形的內(nèi)角，證明：
OA
，
OB
不可能互相垂直；
（Ⅱ）若A，B，C三點共線，求θ的值．
分析：（1）假設
OA
⊥
OB
，則
OA
•
OB
=0，即
3
sinθ+3cosθ=0，求得tanθ＜0，這與θ為銳角三角形的內(nèi)角相矛盾，故
OA
，
OB
不可能互相垂直．
（Ⅱ）求得
AB
、
CB
 的坐標，由A、B、C三點共線，得
AB
∥
CB
，再利用兩個向量共線的性質(zhì)可得tanθ 的值，從而求得θ 的值．
解答：解：（1）假設
OA
⊥
OB
，則
OA
•
OB
=0，即
3
sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=-
3
＜0．
而θ為銳角三角形的內(nèi)角，這與tanθ＞0相矛盾，所以假設不成立．
即若θ為某銳角三角形的內(nèi)角，則
OA
，
OB
不可能互相垂直．
（Ⅱ）∵
AB
=
OB
-
OA
=（
3
-sinθ，3-cosθ），
CB
=
OB
-
OC
=（
3
+1，3+
3
），
由A、B、C三點共線，得
AB
∥
CB
．
所以，（
3
-sinθ，3-cosθ）=（
3
+1，3+
3
）=，化簡可得 tanθ=
3
3
，∴θ=kπ+
π
6
，k∈z．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，兩個向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=(λsinα，λcosα)，
OB
=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求
OA
，
OB
的夾角θ的大��；
（2）求|
AB
|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=（λsinα，λcosα），
OB
=（cosβ，sinβ），且α+β=
5π
6
，其中O為原點．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量
OA
與
OB
的夾角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|
AB
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
OA
=(λcosα，λsinα)（λ≠0），
OB
=(-sinβ，cosβ)，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若α-β=
π
6
且λ=1，求向量
OA
與
OB
的夾角；
（Ⅱ）若不等式|
AB
|≥2|
OB
|對任意實數(shù)α，β都成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
OA
=（λsinα，λcosα），
OB
=（cosβ，sinβ），且α+β=
5π
6
，其中O為原點．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量
OA
與
OB
的夾角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|
AB
|的取值范圍．

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