Question

【題目】設(shè)是平面內(nèi)共始點(diǎn)的三個(gè)非零向量，且兩兩不共線，有下列命題：

（1）關(guān)于的方程可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；

（2）關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

（3）關(guān)于的方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

（4）關(guān)于的方程若有實(shí)數(shù)解，則三個(gè)向量的終點(diǎn)不可能共線；

上述命題正確的序號(hào)是__________

Answer 1

【答案】（3）（4）

【解析】

關(guān)于的方程，對(duì)，以作為一組基底表示平面內(nèi)的向量，利用平面向量基本定理討論解的個(gè)數(shù)．

是平面內(nèi)共始點(diǎn)的三個(gè)非零向量，且兩兩不共線，，以作為一組基底，

則任意向量存在唯一的有序數(shù)對(duì)使，

關(guān)于的方程，即，即，

與一一對(duì)應(yīng)，所以不可能兩個(gè)實(shí)數(shù)解，故命題（1）錯(cuò)誤；

若，無(wú)解，故命題（2）錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，方程有解，結(jié)合（1），方程最多一個(gè)解所以（3）正確；

根據(jù)平面向量共線定理，平面內(nèi)有三個(gè)不同點(diǎn)共線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，必存在實(shí)數(shù)使：，

即，

整理得：，

即三個(gè)向量的終點(diǎn)共線，，必有，與矛盾，所以三個(gè)向量終點(diǎn)不可能共線，故（4）正確.

故答案為：（3）（4）