已知左焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn)．過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若為線段的中點(diǎn)，求；
（3）若，求證直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析，.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、直線的斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先利用左焦點(diǎn)坐標(biāo)得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用定義，求得，而，得，得出結(jié)論，橢圓為；（2）先將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓，兩者作差得，而代入得，利用韋達(dá)定理求，同理求，用坐標(biāo)求，用點(diǎn)和點(diǎn)斜式寫出直線方程，利用化簡，可分析過定點(diǎn).
試題解析：（1）由題意知設(shè)右焦點(diǎn)
       2分

橢圓方程為         4分
（2）設(shè) 則  ①  ②      6分
② ①，可得                       8分
（3）由題意，設(shè)
直線，即 代入橢圓方程并化簡得

                             10分
同理                         11分
當(dāng)時(shí)， 直線的斜率
直線的方程為
 又 化簡得 此時(shí)直線過定點(diǎn)（0，）   13分
當(dāng)時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)（0，）
綜上，直線過定點(diǎn).                                     14分
考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.中點(diǎn)弦的解決方法.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在軸上，離心率，點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，點(diǎn)M（1,1），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以點(diǎn)F1（－1,0），F(xiàn)2（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，）。
（I）求橢圓C的方程；
（II）過P點(diǎn)分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證： 使得

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓，圓，動(dòng)圓與已知兩圓都外切.
（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程；
（2）直線與點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，的中垂線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長是，求。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B，離心率為，圓與軸交于兩點(diǎn)
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為，求的面積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).
(1)寫出的方程;
(2)若點(diǎn)在第一象限,證明當(dāng)時(shí),恒有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點(diǎn)分別為，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為12，點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

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