Question

如圖，長方體中，，點E是AB的中點.

（1）證明：平面;
（2）證明：;
（3）求二面角的正切值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）證明直線和平面平行，一般方法有兩種：①利用直線和平面平行的判定定理(在平面內找一條直線與之平行)，②利用面面平行的性質（如果兩個平面平行，則一個平面內的直線和另一個平面平行），連接，交與點，連接，可證∥，從而平面，（2）證明直線和直線垂直，可先證明直線和平面垂直，由，從而面，所以，（3） 求二面角的平面角，可以利用幾何法，先找到二面角的平面角，然后借助平面圖形去計算，∵
，所以,進而可證,就是的平面角，二面角也可以利用空間向量法，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，把相關點的坐標表示出來，計算兩個半平面的法向量，進而求法向量的夾角，然后得二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：連結AD₁交A₁D于O，連結EO，則O為AD₁的中點，又因為E是AB的中點，
所以OE∥BD₁. 又∵平面A₁DE  BD₁平面A₁DE ∴BD₁∥平面A₁DE           4分
（2）證明：由題可知：四邊形ADD₁A₁是正方形∴A₁D⊥AD₁ 又∵AB⊥平面ADD₁A₁，A₁D平面ADD₁A₁
∴AB⊥AD₁ 又∵AB平面AD₁E，AD₁平面A D₁E  ABAD₁＝A，∴A₁D⊥平面AD₁E 又∵D₁E平面AD₁E ∴A₁D⊥D₁E          8分
（3）解：在△CED中，CD＝2，，，CD²=CE²+DE²  ∴CE⊥DE，又∵D₁D⊥平面ABCD  CE平面ABCD ∴CE⊥D₁D，又∵平面D₁DE  DE平面D₁DE  D₁DDE=D[，∴CE⊥平面D₁DE 又∵D₁E⊥平面D₁DE，∴CE⊥D₁E.，∴∠D₁ED是二面角D₁―ED―D的一個平面角，在△D₁ED中，∠D₁DE=90°,D₁D="1," DE= ，∴ ∴二面角D₁―ED―D的正切值是     12分