【題目】設函數(shù).

（1）研究函數(shù)的極值點；

（2）當時，若對任意的，恒有，求的取值范圍；

（3）證明：.

【答案】（1）詳見解析；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，對的符號進行分類討論，即對函數(shù)是否存在極值點進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)符號確定函數(shù)的極大值或極小值；（2）利用（1）中的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合（1）中的結(jié)論列不等式解參數(shù)的取值范圍；（3）在（2）中，令，得到不等式在上恒成立，然后令得到，兩邊同除以得到

，結(jié)合放縮法得到，最后；利用累加法即可得到所證明的不等式.

試題解析：（1），

當 上無極值點

當p>0時，令的變化情況如下表：

x

(0，)

+

0

－

↗

極大值

↘

從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點

（2）當時在處取得極大值，

此極大值也是最大值，要使恒成立，只需，

∴，即p的取值范圍為[1，+∞；

（3）令，由（2）知，

∴，∴，

∴

,∴結(jié)論成立

另解：設函數(shù)，則，令，解得，則，

∴==（

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱 和一個正四棱錐 組合而成， ， ．

（Ⅰ）證明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求正四棱錐 的高 ，使得二面角 的余弦值是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù) 的定義域為 ，如果 ， ，使 （ 為常數(shù)）成立，則稱函數(shù) 在 上的均值為 ．給出下列四個函數(shù)：① ；② ；③ ；④ ．則其中滿足在其定義域上均值為2的函數(shù)是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .
（I）若曲線 存在斜率為-1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）求 的單調(diào)區(qū)間；
（III）設函數(shù) ，求證：當 時， 在 上存在極小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)，( 為常數(shù))．

（1）求函數(shù)在點 (，)處的切線方程；

（2）當時，設，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

(1)若，求函數(shù)的極大值；

(2)若時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校隨機調(diào)查了80位學生，以研究學生中愛好羽毛球運動與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

愛好

不愛好

合計

男

20

30

50

女

10

20

30

合計

30

50

80

（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查了本校的3名學生.設這3人中愛好羽毛球運動的人數(shù)為，求的分布列和期望值；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有充分證據(jù)判定愛好羽毛球運動與性別有關(guān)聯(lián)？若有，有多大把握？

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐中, 為正三角形, , 為棱的中點.

(1)求證:平面平面;

(2)若直線與平面所成角為,求二面角的余弦值.

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