Question

已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an＞0.

(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①當(dāng)m＝48時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列{an}是唯一的，求m的值；

(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）32

【解析】設(shè)公比為q，則由題意，得q＞0.

(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得或

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an＝8(2－)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1.

②要使?jié)M足條件的數(shù)列{an}是唯一的，即關(guān)于a1與q的方程組有唯一正數(shù)解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．

由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時(shí)q＝2.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝32時(shí)，數(shù)列{an}唯一，其通項(xiàng)公式是an＝2n＋2.

(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，

得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8

≥32，

當(dāng)且僅當(dāng)qk－1＝，即q＝，a1＝8(－1)時(shí)，

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值為32