Question

（1）已知實(shí)數(shù)集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，證明：A=B的充要條件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）已知實(shí)數(shù)集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B={x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，問(wèn)

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的什么條件？請(qǐng)給出說(shuō)明過(guò)程；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)實(shí)數(shù)集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，根據(jù)等式的性質(zhì)，易將A=B等價(jià)變形，易得A=B?

a1

a2

=

b1

b2

，即A=B的充要條件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）可以先假定

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，然后判斷A=B是否成立，然后再假設(shè)A=B成立，然后分A與B是否為空集兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵A={x|x=

b1

a1

}，B={x|x=

b2

a2

}，
∴A=B?

b1

a1

=

b2

a2

?

a1

a2

=

b1

b2

；（4分）
∴A=B的充要條件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）“

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

”是“A=B”的充分不必要條件．（6分）
證明：充分性：
若x₀∈A，即x₀是方程a₁x²+b₁x+c₁=0的解，則a₁x₀²+b₁x₀+c₁=0，
而非零實(shí)數(shù)a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂滿(mǎn)足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，
設(shè)

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k≠0，則可得k（a₂x₀²+b₂x₀+c₂）=0，
所以a₂x₀²+b₂x₀+c₂=0，即x₀是方程a₂x²+b₂x+c₂=0的解，即x₀∈B，
于是A⊆B．同理可證B⊆A，所以A=B（10分）
必要性不成立，反例：如A=B=?．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，集合的相等，充要條件，根據(jù)等式的性質(zhì)，結(jié)合集合相等的定義，對(duì)集合相等進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，是解答本題的關(guān)鍵．