(1)已知實數(shù)集A={x|a1x=b1,a1b1≠0},B={x|a2x=b2,a2b2≠0},證明:A=B的充要條件是;
(2)已知實數(shù)集A={x|a1x2+b1x+c1=0,a1b1c1≠0},B=x|a2x2+b2x+c2=0,a2b2c2≠0},問是A=B的什么條件?請給出說明過程;
(3)已知實數(shù)集A={x|a1x2+b1x+c1>0,a1b1c1≠0},B=x|a2x2+b2x+c2>0,a2b2c2≠0},,問是A=B的什么條件?請給出說明過程.
【答案】分析:(1)分別化簡A和B兩個集合,找出A=B 的等價條件,即得要證結論.
(2))“”是“A=B”的充分不必要條件,利用比例式的性質證明充分性成立,通過舉反例可得必要性
不成立.
(3)通過給變量取特殊值,舉反例可得充分性和必要性都不成立,從而得到“”是“A=B”的既不充分
也不必要條件.
解答:解:(1)因為 ,,故,
故命題成立.…..(4分)
(2)“”是“A=B”的充分不必要條件.        …..(6分)
證明:充分性:
若x∈A,即x是方程a1x2+b1x+c1=0的解,則a1x2+b1x+c1=0,
而非零實數(shù)a1,b1,c1和a2,b2,c2滿足,
,則可得k(a2x2+b2x+c2)=0,
所以a2x2+b2x+c2=0,即x是方程a2x2+b2x+c2=0的解,即x∈B,
于是A⊆B.同理可證B⊆A,所以A=B.                 …..(10分)
必要性不成立,例如:當A=B=ϕ 時,不能推出成立.…..(11分)
(3)如果系數(shù)a1,b1,c1和a2,b2,c2都是非零實數(shù),不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分別是A和B,
則“”是“A=B”的既不充分也不必要條件.       
如  a1 =1,b1=2,c1=-3,a2=-2,b2,=-4,c2=6 時,
A={x|a1x2+b1x+c1>0,a1b1c1≠0}={x|x2+2x-3>0}={x|x<-3,或 x>1 },
B=x|a2x2+b2x+c2>0,a2b2c2≠0}={x|-2x2-4x+6>0}={x|x2+2x-3<0}={x|-3<x<1},
顯然,A≠B.故成分性不成立.  …..(14分)
當A=B 時,a1 =1,b1=2,c1=3,a2=1,b2,=-4,c2=6 時,
A={x|x2+2x+3>0}={x|x∈R}=R,B=x|x2 -4x+6>0}={x|x∈R}=R,
顯然不滿足,故必要性也不成立. …..(16分)
點評:本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義,通過給變量取特殊值,舉反例來說明某個命題不正確,是一種簡單有效的方法,體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想,屬于中檔題.
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a1
a2
=
b1
b2
;
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a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
是A=B的什么條件?請給出說明過程;

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=
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a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
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a1
a2
=
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=
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