Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面．
（Ⅰ）若，分別為，中點(diǎn)，求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）若，求證：平面平面．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析，（Ⅱ）詳見解析，（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）證明線面平行，關(guān)鍵在于找出線線平行.本題條件含中點(diǎn)，故從中位線上找線線平行. ，分別為，中點(diǎn)，在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以∥．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045726145462.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由面面垂直性質(zhì)定理可得線面垂直，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045725552468.png" style="vertical-align:middle;" />底面，且平面平面，又，平面，所以面．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045726176406.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．即．（Ⅲ）證明面面垂直，關(guān)鍵找出線面垂直. 在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045725771837.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．由（Ⅱ）可知，且，
所以平面．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045726176406.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面．
證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)．
因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045725521526.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以與互相平分．         
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045725615302.png" style="vertical-align:middle;" />是中點(diǎn)，
所以是中點(diǎn)．
在△中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，
所以∥．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045726145462.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以∥平面．                                          4分
（Ⅱ）因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045725552468.png" style="vertical-align:middle;" />底面，且平面平面，
又，平面，
所以面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045726176406.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以．即．                             9分    
（Ⅲ）在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045725771837.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
由（Ⅱ）可知，且，
所以平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045726176406.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面平面．                                 14分