Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n以（0，a）為切點(diǎn)的切線方程是2x+y-2=0
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=x²+b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出斜率的值，從而求出m，n的值；
（Ⅱ）方程f（x）=x²+b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根可化為方程$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+2=b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根，令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+2
先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，進(jìn)而求出b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n，
∴f（x）的定義域是（-∞，+∞），且f'（x）=x²+x+m．在切線方程2x+y-2=0中，令x=0，得y=2，即a=2．
∴n=f（0）=2．
∵切線斜率為f′（0）=-2．
∴m=-2．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+mx+n，
所以方程f（x）=x²+b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根可化為方程$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+2=b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根…（5分）
令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+2
∴g'（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），x∈[-$\frac{3}{2}$，3]…（6分）
當(dāng)x變化時(shí)，函數(shù)f（x）、f′（x）變化情況如下表：

	$-\frac{3}{2}$	（-$\frac{3}{2}$，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	g（$-\frac{3}{2}$）	↗	極大值	↘	極小值	↗	g（3）

所以g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{11}{4}$；g（x）_極大值=g（-1）=$\frac{19}{6}$；
g（x）_極小值=g（2）=$-\frac{4}{3}$；g（3）=$\frac{1}{2}$…（9分）
又g（-$\frac{3}{2}$）＞g（3）所以方程$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+2=b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根，
則$\frac{11}{4}≤b＜\frac{19}{6}$或$-\frac{4}{3}＜b≤\frac{1}{2}$…（11分）
故方程f（x）=x²+b在[-$\frac{3}{2}$，3]上有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為$\frac{11}{4}≤b＜\frac{19}{6}$或$-\frac{4}{3}＜b≤\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．