14.已知函數(shù)f(x)=sinx+$\sqrt{3}$cosx,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=[f(x)]2-2,x∈[0,$\frac{π}{4}$],求g(x)的值域.

分析 (Ⅰ)利用輔助角公式化簡,將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)圖象解答;
(Ⅱ)首項(xiàng)求得g(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$),利用正弦函數(shù)圖象解題.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin(x+$\frac{π}{3}$).
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z)
得:2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$(k∈Z),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是:[2kπ-$\frac{5π}{6}$,2kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z.
(Ⅱ)g(x)=[f(x)]2-2,
=4sin2(x+$\frac{π}{3}$)-2,
=4×$\frac{1}{2}$[1-cos(2x+$\frac{2π}{3}$)]-2,
=-2cos(2x+$\frac{2π}{3}$),
=2sin(2x+$\frac{π}{6}$).
∵x∈[0,$\frac{π}{4}$],
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$],
∴g(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)的最大值是1,最小值是-2.

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)圖象.利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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20.在如圖所示的四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,SA=AB=BC=a,AD=3a(a>0),E為線段BS上的一個動點(diǎn).
(1)證明:DE和SC不可能垂直;
(2)當(dāng)點(diǎn)E為線段BS的三等分點(diǎn)(靠近B)時,求二面角S-CD-E的余弦值.

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1.已知實(shí)數(shù)a、b,原命題:“如果a<2,那么a2<4”,寫出它的逆命題、否命題、逆否命題;并分別判斷四個命題的真假性.

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2.已知△ABC中,$a=2,b=3,cosC=\frac{3}{5}$,此三角形的面積S等于( 。
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19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2+mx+n以(0,a)為切點(diǎn)的切線方程是2x+y-2=0
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m,n的值;
(Ⅱ)若方程f(x)=x2+b在[-$\frac{3}{2}$,3]上有兩個不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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6.設(shè)有窮數(shù)列{am}(m=1,2,3,4,…,n;n=2,3,4,…,)滿足以下兩個條件:
①$\sum_{i=1}^n{a_i}=0$;②$\sum_{i=1}^n{|{a_i}|}=1$;稱{am}為n階“單位數(shù)列”.
(Ⅰ)分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“單位數(shù)列”;
(Ⅱ)若某2k+1(k∈N*)階“單位數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)記n階“單位數(shù)列”的前k項(xiàng)和為Sk(k=1,2,3,…,n),
求證:(1)$|{S_k}|≤\frac{1}{2}$;     (2)$|{\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{i}}}|≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$.

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3.在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,DC∥AB,DC=2,AB=4,BC=2$\sqrt{3}$,∠CBA=30°.
(1)求證:AC⊥PB;
(2)若PC=2,點(diǎn)M是棱PB上的點(diǎn),且CM∥平面PAD,求BM的長.

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4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an=2n,則a5=( 。
A.21B.20C.11D.9

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