【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:()的離心率是,拋物線:的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是上的動點(diǎn),且位于第一象限,在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為,直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn).
(i)求證:點(diǎn)在定直線上;
(ii)直線與軸交于點(diǎn),記△的面積為,△的面積為,求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)(i)證明見解析,(ii)的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【解析】
試題分析:(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),以及橢圓的,,的關(guān)系,解得,,
進(jìn)而得到橢圓的方程;(2)(i)設(shè),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,可得中點(diǎn)的坐標(biāo),求得的方程,再令,可得.進(jìn)而得到定直線;(ii)由直線的方程為,令,可得,運(yùn)用三角形的面積公式,可得,,化簡整理,再,整理可得的二次方程,進(jìn)而得到最大值及此時(shí)的坐標(biāo).
試題解析:(1)由題意知,可得,
因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,所以,,
所以橢圓的方程為.
(2)(i)設(shè)(),由可得,
所以直線的斜率為,
因此直線的方程為,即,
設(shè),,,聯(lián)立方程
得,
由,得且,
因此,
將其代入,得,
因?yàn)?/span>,所以直線方程為,
聯(lián)立方程得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,
即點(diǎn)在定直線上.
(ii)由(i)知直線方程為,令,得,∴,
又,,,
所以,
,所以,
令,則,則,
當(dāng),即時(shí),取得最大值,此時(shí),滿足,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,因此的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若,求的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若存在,使函數(shù)成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題錯(cuò)誤的是 ( )
A. 如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面
B. 如果平面不垂直平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
C. 如果平面平面,平面平面,且,那么
D. 如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品噸,當(dāng)日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷售完畢,產(chǎn)品價(jià)格隨產(chǎn)品產(chǎn)量而變化,當(dāng)時(shí),每日的銷售額(單位:萬元)與當(dāng)日的產(chǎn)量滿足,當(dāng)日產(chǎn)量超過噸時(shí),銷售額只能保持日產(chǎn)量噸時(shí)的狀況.已知日產(chǎn)量為噸時(shí)銷售額為萬元,日產(chǎn)量為噸時(shí)銷售額為萬元.
(1)把每日銷售額表示為日產(chǎn)量的函數(shù);
(2)若每日的生產(chǎn)成本(單位:萬元),當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí),每日的利潤可以達(dá)到最大?并求出最大值.(注:計(jì)算時(shí)取)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校高一數(shù)學(xué)考試后,對分(含分)以上的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示,分?jǐn)?shù)在分的學(xué)生人數(shù)為人.
(1)求這所學(xué)校分?jǐn)?shù)在分的學(xué)生人數(shù);
(2)請根據(jù)頻率發(fā)布直方圖估計(jì)這所學(xué)校學(xué)生分?jǐn)?shù)在分的學(xué)生的平均成績;
(3)為進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,按分層抽樣方法從分?jǐn)?shù)在分和分的學(xué)生中抽出人,從抽出的學(xué)生中選出人分別做問卷和問卷,求分的學(xué)生做問卷, 分的學(xué)生做問卷的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為,求函數(shù)的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中, 是邊長為4的正方形.平面⊥平面, .
(1)求證: ⊥平面ABC;
(2)求二面角的余弦值;
(3)證明:在線段存在點(diǎn),使得,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)生物興趣小組在學(xué)校生物園地種植了一批名貴樹苗,為了解樹苗生長情況,從這批樹苗中隨機(jī)測量了其中50棵樹苗的高度(單位:厘米),把這些高度列成了如下的頻率分布表:
組別 | ||||||
頻數(shù) | 2 | 3 | 14 | 15 | 12 | 4 |
(1)在這批樹苗中任取一棵,其高度在85厘米以上的概率大約是多少?
(2)這批樹苗的平均高度大約是多少?
(3)為了進(jìn)一步獲得研究資料,若從組中移出一棵樹苗,從組中移出兩棵樹苗進(jìn)行試驗(yàn)研究,則組中的樹苗和組中的樹苗同時(shí)被移出的概率是多少?
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