Question

如圖，直角梯形中，,點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，沿將梯形翻折，使平面平面.

（1）當(dāng)最小時，求證：;
（2）當(dāng)時，求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）

試題分析：（1）因?yàn)楫?dāng)最小時，及連結(jié)AC與EF的交點(diǎn)即為G點(diǎn)，通過三角形的相似可得到EG的長度.需要證明直線與直線垂直，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，即可得到相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而寫出相關(guān)向量，即可判斷直線的垂直關(guān)系.

（2）由題意所給的體積關(guān)系可確定點(diǎn)G的位置，求二面角關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角，由于平面BCG的法向量易得，關(guān)鍵是求出平面DGB的法向量.通過待定系數(shù)法即可求得，還需判斷二面角與法向量夾角的大小關(guān)系.解法二用到的推理論證的數(shù)學(xué)思想很重要.
試題解析：(1)證明：∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),∴EF//BC  
又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，
如圖建立空間坐標(biāo)系E﹣xyz．

翻折前,連結(jié)AC交EF于點(diǎn)G,此時點(diǎn)G使得AG+GC最小.
EG=BC=2,又∵EA=EB=2．
則A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),
∴=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)
∴=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，
∴⊥
(2)解法一：設(shè)EG=k,
∥平面,點(diǎn)D到平面EFCB的距離為即為點(diǎn)A到平面EFCB的距離.

[(3- k)+4]×2=7-k
=
又=,
,=,
即EG=1
設(shè)平面DBG的法向量為,∵G(0,1,0),
∴(－2,2,2),
則 ,即             
取x＝1,則y＝2,z＝－1,∴
面BCG的一個法向量為
則cos<>=  由于所求二面角D-BF-C的平面角為銳角,
所以此二面角平面角的余弦值為 
(2)解法二:由解法一得EG=1,過點(diǎn)D作DHEF,垂足H,過點(diǎn)H作BG延長線的垂線垂足O，連接OD.

∵平面AEFD⊥平面EBCF, DH平面EBCF，ODOB,所以就是所求的二面角的平面角.由于HG=1,在OHG中,
又DH=2，在DOH中
所以此二面角平面角的余弦值為