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設橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞0）的兩個焦點是F1（-c，0）或F2（c，0）（c＞0），且橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為
3
-
2

（1）求橢圓的方程；
（2）過點（0，
2
）且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由于橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為
3
-
2
，可得a-c=
3
-
2
，又b=1，a2=b2+c2，聯(lián)立解出即可得出．
（2）A(
3
，0)，B（0，1）．假設存在k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線．設P（x1，y1），Q（x2，y2）．可得x1+x2=-
3
，與橢圓方程聯(lián)立化為(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0，由△＞0，解得k2＞
1
3
．利用x1+x2=-
6
2
k
1+3k2
，解出k并驗證即可得出．
解答： 解：（1）∵橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為
3
-
2
，∴a-c=
3
-
2
，
又b=1，a2=b2+c2，聯(lián)立解出a=
3
，c=
2
，b=1．
∴橢圓的方程為
x2
3
+y2=1．
（2）A(
3
，0)，B（0，1）．
假設存在k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線．
設P（x1，y1），Q（x2，y2）．
則x1+x2=-
3
，y1+y2=1．
聯(lián)立
y=kx+
2
x2+3y2=3
，化為(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0，
△=72k2-12（1+3k2）＞0，解得k2＞
1
3
．
∴x1+x2=-
6
2
k
1+3k2
，
∴-
3
=-
6
2
k
1+3k2
，化為3k2-2
6
k+1=0，
解得k=
6
±
3
3
．
經過驗證：只有k=
6
+
3
3
滿足△＞0．
∴存在k=
6
+
3
3
，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線．
點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓的位置關系轉化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數的關系、向量的關系定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=
3x2
1-x
+lg（3x+1）的定義域是（　　）
A、（-
1
3
，+∞）
B、（-∞，-
1
3
）
C、（-
1
3
，
1
3
）
D、（-
1
3
，1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的首項a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，求an．

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科目：高中數學 來源： 題型：

解有關x的不等式：x2＞x
1
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖是無上底的幾何體的三視圖，其中正視圖和側視圖是全等的圖形，外邊界是矩形，它的底邊長為4，寬為3，俯視圖是半徑為2的圓，求該幾何體的表面積和體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知cos（α-
β
2
）=-
1
9
，sin（
α
2
-β）=-
2
3
，且0＜β＜
π
2
＜α＜π，求cos（α+β）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足a1=
1
4
，（1-an）an+1=
1
4
．令bn=an-
1
2
．
（1）求證：數列{
1
bn
}為等差數列；
（2）求和：Sn=
a2
a1
+
a3
a2
+…+
an+1
an
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}
（1）求A∩B=[1，3]，求實數m的值．
（2）若A⊆B，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}的通項公式為an=n2+n+1，則273是這個數列的第
 
項．

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