Question

已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=-

2

3

，且0＜β＜

π

2

＜α＜π，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由α、β的范圍、不等式的性質(zhì)求出α-

β

2

和

α

2

-β的范圍，由平方關(guān)系、三角函數(shù)值的符號，求出sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，利用兩角差的正弦公式可求出sin

α+β

2

的值，再由倍角公式求出cos（α+β）的值．

解答： 解：∵0＜β＜

π

2

＜α＜π，∴0＜

β

2

＜

π

4

，

π

4

＜

α

2

＜

π

2

，
∴

π

4

＜α-

β

2

＜π，-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

，
∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=-

2

3

，
∴sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

4 5

9

，
cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

5

3

，
所以sin[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=sin

α+β

2

=sin（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）-cos（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=

4 5

9

×

5

3

-（-

1

9

）×（-

2

3

）=

20

27

-

2

27

=

2

3

，
則cos（α+β）=1-2sin2(

α+β

2

)=1-2×

4

9

=

1

9

．

點(diǎn)評：本題考查兩角差的正弦公式、倍角公式，平方關(guān)系，三角函數(shù)值的符號，注意角的范圍的確定以及角之間的關(guān)系，考查分析、解決問題能力和化簡計(jì)算能力．