【題目】已知函數(shù)f (x)=ex+2x2-3x.
(1)求證:函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點.
(2)當x≥時,若關于x的不等式f (x)≥ x2+(a-3)x+1恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析.
(2) .
【解析】分析:(1)先求f′(0)與f′(1),看兩值是否異號,然后證明f′(x)在[0,1]上單調(diào)性,即可證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點;
(2)由題意得到ex-,x2-ax-1≥0,構(gòu)造g(x)=ex-x2-ax-1,分類討論求出g(x)的最值,即可得到a的范圍.
詳解:(1)f ′(x)=ex+4x-3,
∵f ′(0)=e0-3=-2<0,f ′(1)=e+1>0,
∴f ′(0)·f ′(1)<0.
令h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,則h′(x)=ex+4>0,
∴f ′(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,
∴f ′(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一零點,
∴f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極小值點.
(2)由f(x)≥x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3x≥x2+(a-3)x+1,即ax≤ex-x2-1,
∵x≥,∴a≤
令g(x)=,則g′(x)=
令φ(x)=ex(x-1)-x2+1,則φ′(x)=x(ex-1).∵x≥,∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在[,+∞)上單調(diào)遞增.∴φ(x)≥φ()=->0.
因此g′(x)>0,故g(x)在[,+∞)上單調(diào)遞增,
則g(x)≥g()==2-,∴a的取值范圍是a≤2-.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
當時,函數(shù)恒有意義,求實數(shù)的取值范圍;
是否存在這樣的實數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出的值;如果不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,證明:;
(2)已知結(jié)論:在直角三角形中,若兩直角邊長分別為,,斜邊長為,則斜邊上的高.若把該結(jié)論推廣到空間:在側(cè)棱互相垂直的四面體中,若三個側(cè)面的面積分別為,,,底面面積為,則該四面體的高與,,,之間的關系是什么?(用,,,表示)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)招聘大學畢業(yè)生,經(jīng)過綜合測試,錄用了14名女生和6名男生,這20名學生的測試成績?nèi)缜o葉圖所示(單位:分),記成績不小于80分者為等,小于80分者為等.
(1)求女生成績的中位數(shù)及男生成績的平均數(shù);
(2)如果用分層抽樣的方法從等和等中共抽取5人組成“創(chuàng)新團隊”,則從等和等中分別抽幾人?
(3)在(2)問的基礎上,現(xiàn)從該“創(chuàng)新團隊”中隨機抽取2人,求至少有1人是等的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,證明:;
(2)已知結(jié)論:在直角三角形中,若兩直角邊長分別為,,斜邊長為,則斜邊上的高.若把該結(jié)論推廣到空間:在側(cè)棱互相垂直的四面體中,若三個側(cè)面的面積分別為,,,底面面積為,則該四面體的高與,,,之間的關系是什么?(用,,,表示)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個三位自然數(shù)的百位,十位,個位上的數(shù)字依次為,當且僅當且時稱為“凹數(shù)”.若,且互不相同,任取一個三位數(shù),則它為“凹數(shù)”的概率是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】國慶假期是實施免收小型客車高速通行費的重大節(jié)假日,有一個群名為“天狼星”的自駕游車隊,該車隊是由31輛身長約為(以計算)的同一車型組成,行程中經(jīng)過一個長為2725的隧道(通過隧道的車速不超過),勻速通過該隧道,設車隊的速度為,根據(jù)安全和車流的需要,當時,相鄰兩車之間保持的距離;當時,相鄰兩車之間保持的距離,自第一輛車車頭進入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時間.
(1)將表示成為的函數(shù);
(2)求該車隊通過隧道時間的最小值及此時車隊的速度.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com