【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓 的離心率是,且直線 被橢圓截得的弦長(zhǎng)為

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若直線與圓 相切:

(i)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(ii)若直線過(guò)定點(diǎn),與橢圓交于不同的兩點(diǎn),與圓交于不同的兩點(diǎn)、,求的取值范圍.

【答案】I;(II(i);(ii).

【解析】試題分析:(Ⅰ)由直線過(guò)定點(diǎn), ,可得到,再結(jié)合,即可求出橢圓的方程;(Ⅱ)(i)利用圓的幾何性質(zhì),求出圓心到直線的距離等于半徑,即可求出的值,即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(ii)首先設(shè)直線的方程為,利用韋達(dá)定理即可求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式,同理利用圓的幾何關(guān)系可求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式,即可得到的表達(dá)式,再用換元法,即可求出的取值范圍.

試題解析:

解:(Ⅰ)由已知得直線過(guò)定點(diǎn), , ,

, ,解得, ,

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得直線的方程為,即,

又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

∴圓心為,圓的半徑

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(ii)由題可得直線的斜率存在,

設(shè) ,與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、,

消去,

,得,

,

又圓的圓心到直線 的距離,

∴圓截直線所得弦長(zhǎng),

,

設(shè), ,

的對(duì)稱軸為,在上單調(diào)遞增,

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【題目】已知函數(shù)

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甲商場(chǎng):顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示轉(zhuǎn)盤(pán),當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形圓心角均為,邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng).

乙商場(chǎng):從裝有4個(gè)白球,4個(gè)紅球和4個(gè)籃球的盒子中一次性摸出3球(這些球初顏色外完全相同),如果摸到的是3個(gè)不同顏色的球,即為中獎(jiǎng).

(Ⅰ)試問(wèn):購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大?說(shuō)明理由;

(Ⅱ)記在乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客摸到籃球的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).

(1)若上單調(diào)遞增,求的取值范圍;

(2)令,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.區(qū)間滿足:上至少含有30個(gè)零點(diǎn).在所有滿足上述條件的中,求的最小值.

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