【題目】已知.

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),證明:對于任意的成立.

【答案】1當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在 內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;(2)詳見解析

【解析】

試題分析:1首先求出函數(shù)的定義域,然后求出其導(dǎo)函數(shù),并對a進(jìn)行分類討論:,,,結(jié)合導(dǎo)數(shù)大于0和小于0所對應(yīng)的自變量的取值范圍,進(jìn)而得出所求的結(jié)論;(2)構(gòu)造函數(shù),則,然后分別求出,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得出函數(shù)的最小值,最后結(jié)合已知得出所求的結(jié)果即可.

試題解析:(1)解:的定義域?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),.時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增;時(shí),,當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在 內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知,時(shí),

,設(shè)

可得當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號

,設(shè),則單調(diào)遞減,

使得,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,,即對于任意的成立.

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