Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且向量與的夾角為．

求橢圓的方程；

設(shè)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且直線BM、BN的斜率之和為1，證明：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值6，最小；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由向量與的夾角為，可得可得，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)，代入橢圓方程，結(jié)合數(shù)量積公式可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；(3)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，聯(lián)立橢圓方程可得，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡可得，代入直線方程即可得證．

橢圓：的，向量與的夾角為，

可得，即，

則橢圓方程為；

設(shè)，可得，即，

，

由可得時(shí)，上式取得最小值；時(shí)，取得最大值6，

則的范圍是；

證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，

由，

，，得，此時(shí)M，N重合，不符合題意；

設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l方程為：，，，

由得，

，，

，

，

，，

，

直線l必過定點(diǎn)．