【題目】已知函數(shù)f(x)=exa﹣ln(x+a).
(1)當(dāng) 時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)當(dāng)a≤1時(shí),證明:f(x)>0.

【答案】
(1)解: 時(shí), , ,

注意到 都是增函數(shù),于是f'(x)在 上遞增,

,故 時(shí),f'(x)<0;故 時(shí),f'(x)>0,

所以f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,

當(dāng) 時(shí),f(x)取得極小值1,f(x)無極大值


(2)解:方法一:當(dāng)a≤1,x∈(﹣a,+∞)時(shí),x﹣a≥x﹣1,x+a≤x+1,

∴exa≥ex1,ln(x+a)≤ln(x+1),exa﹣ln(x+a)≥ex1﹣ln(x+1)

故只需證明當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex1﹣ln(x+1)>0.

當(dāng)a=1時(shí), 在(﹣1,+∞)上單增,

,

故f'(x)在(﹣1,+∞)上有唯一零點(diǎn)x0∈(0,1).

當(dāng)x∈(﹣1,x0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0.

從而x=x0時(shí),f(x)取得最小值.

由f'(x0)=0得: ,ln(x0+1)=1﹣x0

,

綜上,當(dāng)a≤1時(shí),f(x)>0.…(12分)

方法二:先證不等式ex≥x+1與x﹣1≥lnx,

設(shè)g(x)=ex﹣x﹣1,則g'(x)=ex﹣1=0x=0,

可得g(x)在(﹣∞,0)上單減,在(0,+∞)上單增,

∴g(x)=ex﹣x﹣1≥g(0)=0,即ex≥x+1;

設(shè)h(x)=x﹣1﹣lnx,則 ,

可得h(x)在(0,1)上單增,在(1,+∞)上單減,

∴h(x)=x﹣1﹣lnx≥h(1)=0,即x﹣1≥lnx.

于是,當(dāng)a≤1時(shí),exa≥x﹣a+1≥x+a﹣1≥ln(x+a),

注意到以上三個(gè)不等號(hào)的取等條件分別為:x=a、a=1、x+a=1,它們無法同時(shí)取等,

所以,當(dāng)a≤1時(shí),exa>ln(x+a),即f(x)>0.


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可;(2)法一:問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex1﹣ln(x+1)>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;

法二:先證不等式ex≥x+1與x﹣1≥lnx,設(shè)g(x)=ex﹣x﹣1,h(x)=x﹣1﹣lnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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B.x=
C.x=
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