Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=kx+t交拋物線于不同的兩點(diǎn)M，N，若拋物線上一點(diǎn)C滿足

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為x²=2py，由該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2可得

2

p

+

p

2

=2，從而求P；
（2）由題意可得

|1+t|

k2+1

=1，可化為k²=2t+t²，由直線方程與拋物線聯(lián)立可得△=k²+t＞0…（2），從而求t的取值范圍，進(jìn)而由韋達(dá)定理可得λ=1+

1

4+2t

；從而求λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為x²=2py，
則當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

p

，
則由該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2可得，

2

p

+

p

2

=2，
解得p=2．
故拋物線方程為x²=4y；
（2）由題意可得，

|1+t|

k2+1

=1
∴k²=2t+t²…（1），
∵

y=kx+t x2=4y

，
∴x²-4kx-4t=0，
△=k²+t＞0…（2），
由（1）（2）可知，t∈（-∞，-3）∪（0，+∞）；
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（x，y）；
則

x1+x2=4k x1•x2=-4t∴y1+y2=4k2+2t

，
∴

x=λ(x1+x2) y=λ(y1+y2)

，
則λ²(x1+x2)2=4λ（y₁+y₂）；
即λ=1+

1

4+2t

；
∴λ∈（

1

2

，1）∪（1，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的方程的求法及圓錐曲線與直線的運(yùn)算，屬于難題．