Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1 （I）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（II）設(shè)cn=n（an+1），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1， ∴由an+1+1=2（an+1），得 =2，
∴{an+1}是公比為2的等比數(shù)列．
解：（II）由（I）知，數(shù)列{an+1}的首項(xiàng)為a1+1=2，公比為2，
， ，
，①
∴2Tn=21+22+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ，
兩式相減，得：
﹣Tn=2+22+…+2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，
∴Tn=（n﹣1）2n+1+2
【解析】（I）由an+1+1=2（an+1），得 =2，由此能證明{an+1}是公比為2的等比數(shù)列．（II）數(shù)列{an+1}的首項(xiàng)為2，公比為2，從而 ， ，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．