直線與橢圓交于，兩點，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過點，為坐標(biāo)原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；

（Ⅲ）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三角形的面積為定值。證明見解析

【解析】(I)由e和橢圓過點可得到關(guān)于a,b的兩個方程，從而解出a,b值求出橢圓的方程.

(II) 設(shè)的方程為，由已知得：

=0，

然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程求出k值.

(III)要討論AB斜率存在與不存在兩種情況.研究當(dāng)AB斜率存在時，由已知，得,又在橢圓上， 所以 ,從而證明出為定值.

解：（Ⅰ）∵  ……2分

∴   

∴橢圓的方程為……………3分

（Ⅱ）依題意，設(shè)的方程為

由

顯然

      ………………5分

由已知得：

 

 

解得            ……………………6分

（Ⅲ）①當(dāng)直線斜率不存在時，即，

由已知，得

又在橢圓上，

所以

 ,三角形的面積為定值．………7分

②當(dāng)直線斜率存在時：設(shè)的方程為

必須 即

得到，        ………………9分

∵，∴

代入整理得：              …………………10分

   …………11分

     所以三角形的面積為定值． ……12分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2為橢圓的左右焦點，過橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的中心任作一直線與橢圓交于PQ兩點，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，
PF1
•
PF2
的值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年東城區(qū)期末理）（13分）

 已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知直線的方向向量為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的方程為，點的坐標(biāo)滿足過點的直線與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，求：

                          

（1）點的軌跡方程；

（2）點的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省安慶市高三模擬考試（三模）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知焦點在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標(biāo)為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.

（1）試求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2010-2011學(xué)年重慶市主城八區(qū)高三第二次學(xué)業(yè)調(diào)研抽測文科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為、，上頂點為，在軸負(fù)半軸上有一點，滿足，且⊥．

 （Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；                       

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，

若點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍．      

 

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