已知橢圓的方程為,點的坐標滿足過點的直線與橢圓交于、兩點,點為線段的中點,求:
(1)點的軌跡方程;
(2)點的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù).
(Ⅰ)(Ⅱ)當a=0,b=0,即點P(a,b)為原點時,(a,0)、(0,b)與(0,0)重點,曲線L與坐標軸只有一個交點(0,0)
當a=0且,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時,點(a,0)與(0,0)重合,曲線L與坐標軸有兩個交點(0,b)與(0,0)
同理,當b=0且,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時,曲線L與坐標軸有兩個交點(a,0)與(0,0)
當且,即點P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時,曲線L與坐標軸有三個交點(a,0)、(0,b)與(0,0)
(1)設(shè)點、的坐標分別為、,點的坐標為.當時,設(shè)直線的斜率為,則的方程為
由已知 (1)
(2)
由(1)得
, (3)
由(2)得
, (4)
由(3)、(4)及,,,
得點Q的坐標滿足方程
(5)
當時,k不存在,此時l平行于y軸,因此AB的中點Q一定落在x軸上,即Q的坐標為(a,0)顯然點Q的坐標滿足方程(5)
綜上所述,點Q的坐標滿足方程
設(shè)方程(5)所表示的曲線為L,
則由
得
因為,由已知,
所以當時,△=0,曲線L與橢圓C有且只有一個交點P(a,b)
當時,△<0,曲線L與橢圓C沒有交點
因為(0,0)在橢圓C內(nèi),又在曲線L上,所以曲線L在橢圓C內(nèi)
故點Q的軌跡方程為
(2)由 解得曲線L與y軸交于點(0,0),(0,b)
由 解得曲線L與x軸交于點(0,0),(a,0)
當a=0,b=0,即點P(a,b)為原點時,(a,0)、(0,b)與(0,0)重點,曲線L與坐標軸只有一個交點(0,0)
當a=0且,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時,點(a,0)與(0,0)重合,曲線L與坐標軸有兩個交點(0,b)與(0,0)
同理,當b=0且,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時,曲線L與坐標軸有兩個交點(a,0)與(0,0)
當且,即點P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時,曲線L與坐標軸有三個交點(a,0)、(0,b)與(0,0)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知橢圓的方程為,點P的坐標為(-a,b).
(1)若直角坐標平面上的點M、A(0,-b),B(a,0)滿足,求點的坐標;
(2)設(shè)直線交橢圓于、兩點,交直線于點.若,證明:為的中點;
(3)對于橢圓上的點Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟,并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
已知橢圓的方程為,點P的坐標為(-a,b).
(1)若直角坐標平面上的點M、A(0,-b),B(a,0)滿足,求點的坐標;
(2)設(shè)直線交橢圓于、兩點,交直線于點.若,證明:為的中點;
(3)對于橢圓上的點Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟,并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
已知橢圓的方程為,點P的坐標為(-a,b).
(1)若直角坐標平面上的點M、A(0,-b),B(a,0)滿足,求點的坐標;
(2)設(shè)直線交橢圓于、兩點,交直線于點.若,證明:為的中點;
(3)對于橢圓上的點Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟,并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆山東省聊城市高二第四次模塊檢測理科數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的方程為,點P的坐標為(-a,b).
(1)若直角坐標平面上的點M、A(0,-b),B(a,0)滿足,求點的坐標;
(2)設(shè)直線交橢圓于、兩點,交直線于點.若,證明:為的中點;
(3)對于橢圓上的點Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟,并求出使、存在的θ的取值范圍.
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