設(shè)F1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的中心任作一直線與橢圓交于PQ兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí)，
PF1
•
PF2
的值等于
 
．
分析：欲求四邊形PF1QF2面積最大時(shí)，
PF1
•
PF2
的值，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)得到該四邊形是平行四邊形．
此四邊形可以成兩個(gè)全等三角形的組合圖形，SPF1QF2=|
PF1
||
PF2
|  sinθ，當(dāng)θ取最大值時(shí)四邊形PF1QF2面積最大，易得當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在上下頂點(diǎn)時(shí)符合要求．于是
PF1
•
PF2
=|
PF1
|2cosθ，即可得到結(jié)果．
解答：解：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?BR>所以，四邊形可以成兩個(gè)全等三角形的組合圖形，則SPF1QF2=|
PF1
||
PF2
|  sinθ；
當(dāng)θ取最大值時(shí)四邊形PF1QF2面積最大，sinθ=
24
25

即當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在上下頂點(diǎn)時(shí)，θ取最大值，四邊形PF1QF2面積最大，
令橢圓的實(shí)半軸為a=5，虛半軸為b=4，焦半徑為c
此時(shí)，
PF1
•
PF2
=|
PF1
|2cosα=a2
1-(
24
25
)2
=25×
7
25
=7．
故答案為7．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同時(shí)還考查與橢圓相關(guān)的知識(shí)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2=120°，則橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，|F1F2|=8，P為橢圓上的一點(diǎn)，|PF1|+|PF2|=10，PF1⊥PF2，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•薊縣一模）設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上的點(diǎn)，且
AF2
•
F1F2
=0，cos∠AF1F2=
2
2
3
，則橢圓的離心率為（　�。�

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