Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是①③⑤（寫出所有正確命題的編號）
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)；
③如果直線l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)，則直線l必經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)；
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

Answer 1

分析 ①舉一例子即可說明本命題是真命題；
②舉一反例即可說明本命題是假命題；
③假設(shè)直線l過兩個(gè)不同的整點(diǎn)，設(shè)直線l為y=kx，把兩整點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程，兩式相減得到兩整點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之差的那個(gè)點(diǎn)也為整點(diǎn)且在直線l上，利用同樣的方法，得到直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，得到本命題為真命題；
④當(dāng)k，b都為有理數(shù)時(shí)，y=kx+b可能不經(jīng)過整點(diǎn)，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$；
⑤舉一例子即可得到本命題為真命題．

解答 解：①令y=x+$\frac{1}{2}$，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)，所以本命題正確；
②若k=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$經(jīng)過（-1，0），所以本命題錯(cuò)誤；
設(shè)y=kx為過原點(diǎn)的直線，若此直線l過不同的整點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點(diǎn)代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點(diǎn)，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，則③正確；
④當(dāng)k，b都為有理數(shù)時(shí)，y=kx+b可能不經(jīng)過整點(diǎn)，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，故④不正確；
⑤令直線y=$\sqrt{2}$x恰經(jīng)過整點(diǎn)（0，0），所以本命題正確．
綜上，命題正確的序號有：①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生會(huì)利用舉反例的方法說明一個(gè)命題為假命題，要說明一個(gè)命題是真命題必須經(jīng)過嚴(yán)格的說理證明，以及考查學(xué)生對題中新定義的理解能力，是一道中檔題．