Question

（12分）已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，離心率.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)m變化時(shí)，求△TAB面積的最大值.

 

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意可知橢圓中已知，以及，即可求得，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）依題意可得聯(lián)立直線與橢圓E的方程消去y，即可得到一個(gè)關(guān)于x的方程，由，可得m的取值范圍.再結(jié)合韋達(dá)定理寫(xiě)出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出線段AB的垂直平分線，并寫(xiě)出點(diǎn)T的坐標(biāo).由弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可得到三角形的面積公式，再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，即可求出結(jié)論.

試題解析：（1）根據(jù)題意得解得 2分

所求橢圓方程為 4分

（2）【解析】
設(shè)

連立方程組

化簡(jiǎn)得： 6分

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

即且

由根與系數(shù)的關(guān)系得

設(shè)A、B中點(diǎn)為C，C點(diǎn)橫坐標(biāo)

線段AB垂直平分線方程為

T點(diǎn)坐標(biāo)為

T到AB的距離 8分

由弦長(zhǎng)公式得 10分

當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立

12分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.最值問(wèn)題.