Question

【題目】已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Sn ， 且bn=1﹣2Sn ， 又?jǐn)?shù)列{an}、{bn}滿足點(diǎn){an ， 3 }在函數(shù)y=（ ）x的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=anbn+ ，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，bn=1﹣2Sn，bn﹣1=1﹣2Sn﹣1，

兩式相減得：bn﹣bn﹣1=﹣2bn，即bn= bn﹣1，

又∵b1=1﹣2S1，即b1= ，

∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)、公比均為 的等比數(shù)列，

∴bn= = ；

∵點(diǎn){an，3 }在函數(shù)y=（ ）x的圖象上，

∴3 = ，即 = ，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n﹣1

（2）解：由（1）可知cn=anbn+ =（2n﹣1） +3n，

記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Pn，數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Qn，

∵Pn=1 +3 +…+（2n﹣1） ，

Pn=1 +3 +…+（2n﹣3） +（2n﹣1） ，

∴ Pn= +2（ + +…+ ）﹣（2n﹣1）

= +2 ﹣（2n﹣1）

= ﹣ ，

∴Pn=1﹣（n+1） ，

又∵Qn= = ，

∴Tn=Pn+Qn

=1﹣（n+1） +

= ﹣ ﹣

【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，利用bn=1﹣2Sn與bn﹣1=1﹣2Sn﹣1作差，整理得bn= bn﹣1 ， 進(jìn)而可知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)、公比均為 的等比數(shù)列；通過將點(diǎn){an ， 3 }代入函數(shù)解析式y(tǒng)=（ ）x中，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；（2）通過（1）可知cn=（2n﹣1） +3n ， 通過記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Pn ， 數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Qn ， 利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知Pn=1﹣（n+1） ，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知Qn= ，相加即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．