Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離之比為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；

（2）直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B在軸的上方)：

①當(dāng)A為橢圓與軸的正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

②對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為：，是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2、短軸長(zhǎng)為2的橢圓；(2) ①，②存在定點(diǎn)，滿足題意，證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)之間距離公式，化簡(jiǎn)整理即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；

(2) ①求直線FB：和橢圓聯(lián)立求B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式求直線方程；

②設(shè)直線方程和橢圓聯(lián)立消元化簡(jiǎn)，由得，然后利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得，代入直線方程即可求得答案.

(1)設(shè)點(diǎn)P()，則P點(diǎn)到直線的距離，P點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由題意，得，化簡(jiǎn)整理得：

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為：，是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2、短軸長(zhǎng)為2的橢圓.

(2)由題意直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B在軸的上方)，可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，可得.

①由(1)得曲線，則得A(0,1)，F(-1,0)，所以，，所以直線FB的方程為,由聯(lián)立消得解得或，

代入，可得交點(diǎn)坐標(biāo)：(0,-1)，()，由B點(diǎn)在軸上方則可得B點(diǎn)坐標(biāo)為()，則由兩點(diǎn)式可得直線：，化簡(jiǎn)得.

②存在定點(diǎn)，滿足題意，證明如下：

設(shè)A()，B()

由消化簡(jiǎn)得

則，

所以由，，可得

化簡(jiǎn)得，代入和

化簡(jiǎn)得，所以直線方程為：，可得直線恒過(guò)點(diǎn)，

故無(wú)論如何變化，滿足題意的直線恒過(guò)定點(diǎn).