【題目】已知f(x)=(ax2+ax+x+a)ex(a≤0).
(1)討論y=f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=0時(shí),若f(x1)=f(x2) (x1≠x2),求證x1+x2>2.

【答案】
(1)解:由已知得:x∈R,f′(x)= ,

若a=0,當(dāng)x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,

∴f(x)在(﹣∞,1)遞增,在(1,+∞)遞減,

若﹣1<a<0時(shí),﹣ >1,

∴f(x)在(﹣∞,1)與(﹣ ,+∞)遞增,在(1,﹣ )遞減,

若a=﹣1,f′(x)≤0,∴f(x)在R遞減,

若a<﹣1,時(shí),則﹣ <1,

∴f(x)在(﹣∞,﹣ )與(1,+∞)遞增,在(﹣ ,1)遞減,

綜上:若a=0,f(x)在(﹣∞,1)遞增,在(1,+∞)遞減,

﹣1<a<0時(shí),f(x)在(﹣∞,1)與(﹣ ,+∞)遞增,在(1,﹣ )遞減,

a=﹣1時(shí),f′(x)≤0,∴f(x)在R遞減,

a<﹣1時(shí),f(x)在(﹣∞,﹣ )與(1,+∞)遞增,在(﹣ ,1)遞減


(2)證明: a=0時(shí),f(x)=xex,∴f′(x)=(1﹣x)ex,

∴f(x)在(﹣∞,1)遞增,在(1,+∞)遞減,

∵f(x1)=f(x2),(x1≠x2),

則不妨設(shè)x1<1<x2,∴2﹣x2<1,

要證x1+x2>2,只需證明 x1>2﹣x2,

由f(x)在(﹣∞,1)遞增,

即證f(x2)>f(2﹣x2),即證

即證x2>(2﹣x2 ,

令g(t)=t﹣(2﹣t)e2t2(t>1),

g′(t)=1+(2t﹣3)e2t2

g″(t)=(4t﹣4)e2t2>0,

∴g′(t)在(1,+∞)遞增,g′(t)>g′(1)=0,

∴g(t)在(1,+∞)遞增,g(t)>g(1)=0,

∴g(t)在(1,+∞)上恒大于0,

即x2>(2﹣x2

即x1+x2>2


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)不妨設(shè)x1<1<x2 , 得到2﹣x2<1,問題轉(zhuǎn)化為證x2>(2﹣x2 ,令g(t)=t﹣(2﹣t)e2t2(t>1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)以頻率為概率,若從這名觀眾中隨機(jī)抽取名進(jìn)行調(diào)查,求這名觀眾中體育迷人數(shù)的分布列;

(2)若抽取人中有女性人,其中女體育迷有人,完成答題卡中的列聯(lián)表并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過的前提下認(rèn)為是體育迷與性別有關(guān)系嗎?

附表及公式:

,.

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A.3
B.2
C.
D.

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