Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3|x|+log3|x|．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）說(shuō)明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義證明；
（3）若 f（2a）＜28，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=3|x|+log3|x|的定義域?yàn)镽{x|x≠0}

且f（﹣x）=3|﹣x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f（x），

則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)

（2）解：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

證明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）= ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：∵f（3）=28，f（2a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

∴2a＜3，∴a＜log23

【解析】（1）求函數(shù)f（x）=3|x|+log3|x|的定義域?yàn)镽{x|x≠0}，判斷f（﹣x）=3|﹣x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f（x），即可；（2）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論；（3）利用f（3）=28，f（2a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．