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設F1，F2分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點

(1)若橢圓C上的點到F1，F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

(2)設點P是(1)中所得橢圓上的動點，，求PQ的最大值；

(3)已知橢圓具有性質：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

答案：
解析：

　　解：(1)橢圓的焦點在軸上，由橢圓上的點到兩點的距離之和是4，得

　　即，又在橢圓上，，解得，于是

　　所以橢圓的方程是，焦點

　　設，則，

　　

　　又，當時，

　　類似的性質為：若是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點是雙曲線上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點位置無關的定值．

　　設點，則點，其中，設點，則由，

　　，得，將代入上式得：


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網設F1，F2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦點．
（1）當P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8時，求橢圓C的左，右焦點F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q的作⊙F2切線QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓
x2
9
+y2=1的左、右焦點．
（I）若M是該橢圓上的一個動點，求
mF1
•
MF2
的最大值和最小值；
（II）設過定點（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設F1，F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左右焦點，過左焦點F1作直線l與橢圓交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的長；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點M，使得
MA
•
MB
為常數？若存在，求出M點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1且斜率為k的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，設點P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求橢圓E的方程．

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