Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則

PF1

• 

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3，根據(jù)x的取值范圍能夠得到

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l．由題意知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-5），再把直線y=k（x-5）和橢圓

x2

5

+

y2

4

=1聯(lián)系方程用根的判別式求l的方程或說(shuō)明理由．

解答：解：（Ⅰ）由題意知a=

5

，b=2，c=1，∴F1=(-1，0)，F2(1，0)，
設(shè)P（x，y），則

PF1

• 

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3，
∵x∈[-

5

，

5

]，
∴當(dāng) x=0時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值3；
當(dāng)x=±

5

，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值4．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l．由題意知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x-5）
由方程組

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
依題意△=20(16-80k2) ＞0，∴-

5

5

＜ k＜

5

5

．
當(dāng)-

5

5

＜k＜

5

5

時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)為R（x₀，y₀），
則x1+x2=

50k2

5k2+4

，x0=

25k2

5k2+4

，∴y0=k(x0-5) =k(

25k2

5k2+4

-5) =

-20k

5k2+4

，
又|F₂C|=|F₂D|?F₂R⊥l?k•kF2R=-1，∴k•kF1R=k•

0-(- 20k 5k2+4 )

1- 25k2 5k2+4

=

20k2

4-20k2

=-1，
∴20k²=20k²-4，而20k²=20k²-4不成立，所以不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|
綜上所述，不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要仔細(xì)審題，認(rèn)真解答．