Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F₁且斜率為k的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）若a=1，求|AB|的值；
（2）若k=1，設(shè)點(diǎn)P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），左焦點(diǎn)（-c，0），則直線l：y=x+c，由題意得
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，由橢圓的性質(zhì)能導(dǎo)出|AB|+2|AB|=4a，再由a=1，能求出|AB|的值．
（2）由PA=PB，知（x₁+1）²+y₁²=（x₂+1）²+yy₂²，所以（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．把y=x+c代入，得（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+[（x₁+c）-（x₂+c）][（x₁+c）+（x₂+c）]=0，從而導(dǎo)出（-

2a2c

2a2-c2

）+1+c=0，再由e=

c

a

=

2

2

，能推導(dǎo)出橢圓方程．

解答：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），左焦點(diǎn)（-c，0），
則直線l：y=x+c
由題意得
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，
∵|AF₁|+|AF₂|=2a，①
|BF₁|+|BF₂|=2a，②
①+②得
（|AF₁|+|BF₁|）+（|AF₂|+|BF₂|）=4a，
即|AB|+2|AB|=4a，
∵a=1，
∴|AB|=

4a

3

=

4

3

．
（2）∵PA=PB，
∴（x₁+1）²+y₁²=（x₂+1）²+yy₂²，
∴（x₁+1）²-（x₂+1）²+y₁²-y₂²=0
（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0    
把y=x+c代入，得
（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+[（x₁+c）-（x₂+c）][（x₁+c）+（x₂+c）]=0，
（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）+（x₁-x₂）（x₁+x₂+2c）=0
（x₁-x₂）[2（x₁+x₂）+2+2c]=0
∵x₁≠x₂，即x₁-x2≠0
∴2（x₁+x₂）+2+2c=0
∴x₁+x₂+1+c=0
即（-

2a2c

2a2-c2

）+1+c=0，
∵e=

c

a

=

2

2

，即a²=2c²
代入上式，得
c=3
∴a²=18，b²=9
橢圓方程為

x2

18

+

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用，難度大，較繁瑣，易出錯(cuò)．通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過數(shù)列與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．