Question

設函數(shù)．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，設函數(shù)，若對于[1，2]，[0，1]，使成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）在處的切線方程為；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為；（3）.

試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的幾何意義求得在處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程求得在處的切線方程；（2）分別解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間；（3）由已知“對于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分別求函數(shù)，的最小值，最后解不等式得實數(shù)的取值范圍．
試題解析：函數(shù)的定義域為，                      1分
    　                            2分
（1）當時，，，       3分
，
，                                           4分
在處的切線方程為.                    5分
(2).                 
當,或時, ;                             6分
當時, .                                        7分
當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為.   8分
(如果把單調(diào)減區(qū)間寫為,該步驟不得分)
（3）當時，由（2）可知函數(shù)在上為增函數(shù)，
∴函數(shù)在[1，2]上的最小值為                9分
若對于[1，2]，使≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                        10分
又，
當時，在上為增函數(shù)，
與（*）矛盾                     11分
當時，，由及
得，                                            12分
③當時，在上為減函數(shù)，
及得.                                           13分
綜上，的取值范圍是                              14分