Question

14．函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）的性質(zhì)描述正確的是（　　）

• A． 最大值為2
• B． 周期為π的奇函數(shù)
• C． 關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{8}，0）$中心對(duì)稱
• D． 在$[\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}]$上單調(diào)遞減

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
最大值為$\sqrt{2}$；周期為π，非奇非偶函數(shù)．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），
解得：x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
∴f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，1）（k∈Z）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得kπ+$\frac{3π}{8}$x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，
∴函數(shù)在$[\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}]$上單調(diào)遞減，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．