Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA= ．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中點，求三棱錐P﹣BCE的體積．

Answer 1

【答案】證明：（I）連接AC交BD于O點，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是BD的中點，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
又AC∩OP=O，AC平面PAC，OP平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，
∴BD⊥PC．
（II）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BD=AB=AD=2，∴OB=1，OA= ，
∴OP= = ，∴OA2+OP2=PA2 ， 即OA⊥OP．
∴S△PCE= S△PAC=S△POA= × = ．
∴又OB⊥平面PAC，
∴VP﹣BCE=VB﹣PCE= S△PCEOB= ×1= ．
【解析】（I）連接AC交BD于O點，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；（II）利用勾股定理計算OA，OP，證明OA⊥OP，得出三角形PCE的面積，于是VP﹣BCE=VB﹣PCE= S△PCEOP．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．