如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

(1)平面；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要考查線面垂直、線面平行、線線垂直、線線平行以及錐體體積問題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，在中，利用中位線得到與平行，通過線面平行的判斷定理即可得到平面；第二問，要求三棱錐的體積，找到底面積和高是關鍵，通過的翻折得出平面，通過，得出平面，所以為錐體的高，利用錐體體積公式計算出體積；第三問，在線段上取點．使， 過作于，在中，利用邊長求出的正切，從而確定角的度數(shù)，在等邊三角形中，是角平分線，所以，再利用線面垂直的判定證出平面，所以.
試題解析：（1）平面，理由如下：
如圖：在中，由分別是、中點，得，
又平面，平面．∴平面．

（2）∵，，將沿翻折成直二面角．
∴   ∴平面
取的中點，這時  ∴平面，，
 
（3）在線段上存在點，使
證明如下：在線段上取點．使， 過作于，
∵平面    ∴平面
∴，  ∴，
∴  在等邊中， ∴
∵

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在棱長為2的正方體中，為的中點.
（1）求證：∥；
（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點，AF=3．

（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F(xiàn),G,H分別為BP,BE,PC的中點。

（Ⅰ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅱ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，，點在線段上，且．

（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．

（1）求證：PQ//平面BCE；
（2）求證：AM平面ADF；
（3）求二面角A-DF-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在正方體中，已知是棱的中點．

求證：（1）平面，
（2）直線∥平面；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖三棱錐中，，是等邊三角形.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若二面角 的大小為，求與平面所成角的正弦值.

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