Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10，設(shè)T_n是數(shù)列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n項和，求使T_n＞

1

4

（m²-5m）對所有的n∈N成立的最大正整數(shù)m的值集合．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n與s_n的關(guān)系得，a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，兩式作差即可證得數(shù)列{a_n}是以10為首項，10為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，lga_n=n，
（2）利用裂項相消法求得T_n，T_n≥

3

2

，依題意有

3

2

＞

1

4

（m²-5m），解不等式即可得出結(jié)論．

解答： 解：依題意，
當(dāng)n=1時，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
當(dāng)n≥2時，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式對于n=1時也成立．
∴數(shù)列{a_n}是以10為首項，10為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴l(xiāng)ga_n=n，
∴

1

(lgan)(lgan+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=3（1-

1

n+1

）=3-

3

n+1

，
∴T_n≥

3

2

，
依題意有

3

2

＞

1

4

（m²-5m），解得-1＜m＜6，
故所求最大正整數(shù)m的值為5．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的綜合把握．