Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且滿足：

1

a1-1

+

2

a2-1

+

3

a3-1

+…+

n

an-1

=n，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式即可得出；
（2）a_n=n+1（n∈N^*）．可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．S_n=

n(n+3)

2

.

1

Sn

=

2

n(n+3)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+3

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）解：當(dāng)n=1時(shí)，

1

a1-1

=1，解得a₁=2．
∵

1

a1-1

+

2

a2-1

+

3

a3-1

+…+

n

an-1

=n，n∈N^*．
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a1-1

+

2

a2-1

+

3

a3-1

+…+

n-1

an-1-1

=n-1，n∈N^*．
兩式相減可得：

n

an-1

=1，即a_n=n+1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（II）證明：∵a_n=n+1（n∈N^*）．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
∴S_n=

n(2+n+1)

2

=

n(n+3)

2

．
∴

1

Sn

=

2

n(n+3)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+3

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+3

)]
=

2

3

[1+

1

2

+

1

3

-(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)]＜

2

3

(1+

1

2

+

1

3

)=

11

9

＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．