Question

【題目】2012年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟�路的車速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值．
（3）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意知這個(gè)抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個(gè)具有相同間隔的抽樣，并且總體的個(gè)數(shù)比較多，這是一個(gè)系統(tǒng)抽樣．
故調(diào)查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣，
（2）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5
設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計(jì)值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m1=0.01×5×40=2（輛），
車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m2=0.02×5×40=4（輛）
設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，
則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種 （10分）
其中車速在[65，70）的車輛至少有一輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14種
所以，車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率為P=．

【解析】（1）這個(gè)抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個(gè)具有相同間隔的抽樣，并且總體的個(gè)數(shù)比較多，這是一個(gè)系統(tǒng)抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對(duì)應(yīng)的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個(gè)小矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)矩形的底邊的中點(diǎn)的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)和車速在[65，70）的車輛數(shù)．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應(yīng)的概率即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計(jì)總體的分布情況．