Question

若關(guān)于x的不等式（ax-50）lg

2a

x

≤0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得a＞0，x＞0，設(shè)f（x）=（ax-50）lg

2a

x

，可得當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，f（x）無限趨近于-∞，當(dāng)x無限趨近于+∞時(shí)，f（x）無限趨近于-∞，
把f（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）有唯一的零點(diǎn)，進(jìn)一步得到

50

a

=2a，由此求得a的取值集合．

解答： 解：（ax-50）lg

2a

x

≤0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，
則a＞0，x＞0，
設(shè)f（x）=（ax-50）lg

2a

x

，
當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，f（x）無限趨近于-∞，
當(dāng)x無限趨近于+∞時(shí)，f（x）無限趨近于-∞，
若f（x）≤0恒成立，需f（x）有唯一的零點(diǎn)，
由f（x）=0，得ax-50=0或lg

2a

x

=0．
解得：x=

50

a

，x=2a．
若f（x）有唯一的零點(diǎn)，則

50

a

=2a，
那么a²=25，即a=5．
∴實(shí)數(shù)a的取值集合是{5}．
故答案為：{5}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，把f（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）有唯一的零點(diǎn)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．