Question

若x，y∈R，設(shè)函數(shù)f（x，y）=x²-2xy+2y²-x+y，則當f（x，y）取最小值時，x+y的值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)x+y=t，消y可得f（x，y）=5x²-2（1+3t）x+2t²+t，由二次函數(shù)知上式有最小值g（t）=

1

5

（t²-t-1），再由二次函數(shù)可得t=

1

2

時，f（x，y）取最小值．

解答： 解：設(shè)x+y=t，則y=t-x，
∴f（x，y）=x²-2xy+2y²-x+y
=x²-2x（t-x）+2（t-x）²-x+t-x
=5x²-2（1+3t）x+2t²+t，
上面式子可看做關(guān)于x的二次函數(shù)，
由二次函數(shù)知上式有最小值g（t）=

1

5

（t²-t-1），
上式是關(guān)于t的二次函數(shù)，當t=

1

2

時，f（x，y）取最小值，
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查不等式的性質(zhì)，涉及二次函數(shù)的最值以及函數(shù)與方程的思想，屬中檔題．