Question

某集團(tuán)公司舉辦一次募捐愛(ài)心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)．第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)x，y（x，y∈{0，1，2，3}），滿足|x-1|+|y-2|≥3電腦顯示“中獎(jiǎng)”，且抽獎(jiǎng)?wù)攉@得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)．
（1）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（2）若該集團(tuán)公司望在此次活動(dòng)中至少獲得61875元的收益，則特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金最高可設(shè)置成多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）確定從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字的基本事件的個(gè)數(shù)，與小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的基本事件個(gè)數(shù)，即可求得小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（2）設(shè)小明參加此次活動(dòng)的收益為ξ，ξ的可能取值為-100，900，9900，求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望得到不等式，解得即可

解答： （1）從0，1，2，3四個(gè)數(shù)字中有重復(fù)取2個(gè)數(shù)字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 個(gè)．
設(shè)“小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5個(gè)，∴P（A）=

5

16

．
（2）設(shè)特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，一個(gè)人參加此次活動(dòng)的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a．
P（ξ=-100）=

990

1000

=

99

100

，P（ξ=900）=

10

1000

•

11

16

=

11

1600

，P（ξ=a）=

10

1000

•

5

16

=

1

320

．
∴ξ的分布列為

ξ	-100	900	a
P	99 100	11 1600	1 320

∴Eξ=-100×

99

100

+900×

11

1600

+a×

1

320

=-

1485

16

+

a

320

．
∴該集團(tuán)公司收益的期望為-1000Eξ=

185625

2

-

25a

8

，
由題意

185625

2

-

25a

8

≥61875，
解得a≤9900．
故特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金最高可設(shè)置成9900元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的應(yīng)用及分布列與數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．