【題目】設n為一個正整數(shù)，三維空間內的點集S滿足下述性質：

（1）.空間內不存在n個平面，使得點集S中的每個點至少在這n個平面中的一個平面上；

（2）.對于每個點，均存在n個平面，使得中的每個點均至少在這n個平面中的一個平面上.

求點集S中點的個數(shù)的最小值與最大值.

【答案】最小值為3n+1，最大值為.

【解析】

先求的最小可能值.

由于過任意三點均可以作一個平面，故.

而當3n+1個點中，任意四點不共面時，即滿足題設條件.

于是，的最小可能值為3n+1.

接下來求的最大可能值.

對于每一個，

設直線能覆蓋.

由題設知.

設.

則為一個三元n次多項式，且，.

于是，在（為次數(shù)不超過n的三元多項式的向量空間）中是線性無關的.

因此，.

下面給出集合S中有個點的例子.

如圖，設為個點構成的正四面體點陣.

則.

對于每個點，可以用n個平面覆蓋.但不能用n個平面覆蓋.

綜上，集合S中點的個數(shù)的最大值為.

練習冊系列答案
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（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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每周累積戶外暴露時間（單位：小時）

不少于28小時

近視人數(shù)

21

39

37

2

1

不近視人數(shù)

3

37

52

5

3

（1）在每周累計戶外暴露時間不少于28小時的4名學生中，隨機抽取2名，求其中恰有一名學生不近視的概率；

（2）若每周累計戶外暴露時間少于14個小時被認證為“不足夠的戶外暴露時間”，根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，并根據(jù)（2）中的列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為不足夠的戶外暴露時間與近視有關系？

近視

不近視

足夠的戶外暴露時間

不足夠的戶外暴露時間

附:

P

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側面底面，且為等腰直角三角形，，為的中點．

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（2）求直線與平面所成線面角的正切值．

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若上恰有2個點到的距離等于，求的斜率.

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【題目】已知圓的面積為，且與軸、軸分別交于兩點.

（1）求圓的方程；

（2）若直線與線段相交，求實數(shù)的取值范圍；

（3）試討論直線與（1）小題所求圓的交點個數(shù).

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